[Linear Algebra] Determinant of matrix

선형대수에서 행렬을 공부하면서 계속 궁금했던 것 중에 하나가...왜 행렬을 공부하는데 Determinant에 대하여는 소홀히 하지? 였다. 적어도 행렬이 주어지면 Determinant를 구할 줄 알아야 할 것 같은데, 2x2 만 ad-bc로 구하고 나머지는 딱히 구하는 방법을 공부하지 않더라. 왜 그러지? 계속 궁금했는데 이제야 배운다. 그렇다. 이번 포스팅부터 몇 개는 Determinant에 대하여 자세하게 배워볼 것이다. 

기본적으로 Determinant는 우리에게 많은 정보를 준다. 그 중에 대표적인 예가 Inverse matrix의 유무이다. Determinant가 0일 때 Inverse matrix는 존재하지 않는다. 우리는 이것을 고등학교 때부터 배워왔다.

그 외에 Determinant가 어떤 식으로 유용하게 쓰일 수 있을까? 그것을 공부하기 위한 기본적인 Determinant의 성질을 알아보자. 이번 포스팅에서 10가지의 성질을 알아보도록 하자. (음... 참고로 그 중요하다는 Aigenvalue도 Determinant를 제대로 공부해야만 알 수 있는 그런 것 같다. 아직 공부는 안해서 잘 모르겠지만...)

1. nxn Identity matrix의 Determinant는 1이다.

지긋이 당연한 듯 하면서도 2x2일 때 말고는 증명을 못 하겠다. 증명해보려면 이렇게 하면 되지 않을까? Determinant라는 값은 사실 pivot과 매우 관련이 있다. pivot의 곱이 Determinant이다. 그렇다면 Identity matrix에서 pivot은 모두 무엇일까? 1이다. 1x1x1....x1 = 1이다.

2. matrix에서 row exchange가 n번 발생하면 Determinant의 부호가 n번 바뀐다.

이 말은 그냥 아직까지는 이 말 그대로 믿자. 2x2 matrix에서는 아주 쉽게 그것을 증명할 수 있다. 

그런데 우리는 nxn matrix에 대해서도 증명해보고 싶으나 아직 별로 아는 것이 없어서 못 할 것 같다. 그냥 그렇다고 알고 가고 증명은 조금 나중에 미루자.

3. Determinant는 row에 대하여 linear하다.

말이 조금 어렵다. 그런데 어려운 내용 아니다. 수식으로 보자.

3.1은 특정 row에 t를 곱했을 경우 그 Determinant 역시 t배가 된다는 말이다.

3.2는 식이 더 이해하기 편하겠다.

1, 2, 3은 사실 증명이라기보다는 property라고 하고 가련다. property 4부터는 property 1,2,3을 이용하여 제대로 증명하면서 할 것이다.

4. 두 개 이상의 row가 같을 때, 그 Determinant는 0이다. 2번을 이용하여 증명을 해보자.

5. 각 row끼리의 linear combination으로는 Determinant가 바뀌지 않는다.

하나의 row에 다른 row를 빼도 Determinant는 바뀌지 않는다.

6. 모든 element가 0인 row가 있다면 그 matrix의 Determinant는 0이다.

간단하다. row1에 row2를 더하거나 빼도 Determinant는 변하지 않는다. 0인 row에 다른 row를 더해버리면 두 개의 row가 같은 row가 되고 그것의 Determinant는 4번에 의해 0이다.

7. Matrix A가 triangular matrix이면, Determinant는 a11a22a33...ann을 곱한 것과 같다.

위와 같이 증명했으나, 굳이 대각선 elements의 위와 아래쪽을 모두 0으로 놓을 필요는 없다. upper triangular matrix로만 놓아도 대각선의 곱은 Determinant이다.

8. Matrix A의 Determinant가 0이 아니어야 A는 Inverse matrix를 갖는다.

음... 지금까지 계속 해왔던 이야기 중 하나다. 내가 핵심을 못 파악하고 있는건지... 왠지 너무 당연한 이야기로 밖에 안 들린다. 따라서 그냥 생략하련다. 나중에 진짜 내가 빼먹은 것이 있다고 판단될 때 다시 적어넣도록 하자.

9. Matrix AB의 Determinant는 Det(AB)=Det(A)Det(B)이다.

책에 2x2 matrix에 대하여 ad-bc 원리를 이용하여 증명을 해놨으나 굳이 여기 적지는 않겠다. 모두가 손으로 조금만 써보면 가능한 것이라. 그렇다고 general하게 nxn matrix에 대하여 증명한 것도 아니므로 그냥 증명 생략하고 넘어가자.

10. Matrix A의 Determinant와 T(A)의 Determinant는 같다.

..... 이것도 증명을 못 하겠다;; 그냥 외우도록 하자.

8, 9, 10을 완성하지 못 하여 이틀 정도 고민했는데... 음... 그냥 미결 상태로 두고 넘어가련다. 우선 Aigenvalue까지는 빨리 공부해버리고 싶기 때문이다. 약간 8, 9, 10이 그럴 듯하게 직관적이긴 하다. 아무튼 독자들에게는 미안하지만 Let me leave unsolved..

다음 포스팅은 nxn matrix의 Determinant를 구하는 세가지 방법에 대해서 알아보도록 하자.