[Linear Algebra] Orthonormal Vector and its usefulness

몇 일 조금 놀았더니 조금 오랫동안 포스팅을 못 했다. 그래도 열흘 밖에 안 되기는 했다. 열 흘을 전부 논 것은 아니지만.. 아무튼 포스팅을 해보도록 하자.

이번에 포스팅할 내용은 Orthonormal Vector와 Orthonormal Vector의 유용성이다. 우선 Orthonormal Vector에 대해서 알아보도록 하자. 우리는 아래와 같은 식을 만족하는 Vector를 Orthonormal Vector라고 한다. 

가령 아래의 Vector들은 Orthonormal vector이다.

위의 Vector q1과 q2는 서로 perpendicular하다. 그리고 q1과 q2의 크기가 모두 1이다. 따라서 q1과 q2는 Orthonormal vector이다.

Orthonormal vector를 공부하는 이유는 무엇일까? 결론적으로 말하면 다음 포스팅에서 나올 Gram-Schmidt Process를 공부하기 위함이다. 그렇다면 거기서 Orthonormal vector의 개념은 왜 쓰일까? 계산을 쉽게 한덴다.. 왜 계산을 쉽게 할까? 여기서 Orthonormal vector의 Usefulness가 나오니 집중해서 보기를 바란다.

Q라는 Orthonormal vector가 Column Space로 있는 matrix를 보자.

위의 식에서 T(Q)Q를 보면 뭔가 어디선가 많이 봤다는 생각이 들 것이다. 이전 포스팅에서 실컷 봤을 것이다. 우리가 하나의 Vector를 subspace에 projection 시킬 때 그 Projection Matrix를 아래와 같이 유도했었다.

위의 수식에서 A를 q로 바꿔보자. 그러면 마지막에 P = Q Inv(T(Q)Q) T(Q)가 되는데 T(Q)Q는 항상 Identity Matrix이므로, P = Q T(Q)가 된다. 뭔가 깔끔하게 떨어지니까 좋다. 그리고 같은 원리로 아래와 같은 식도 깔끔하게 줄어든다.

이렇게 깔끔하게 줄어드는 것을 바탕으로 Gram이라는 사람과 Schemidt라는 사람이 뭔가 대단한 것을 했나보다. 그 사람들이 무엇을 했는지는 다음 포스팅에 잘 알아보려고 한다.

계속 말하는 것이지만 확실히 선형대수 포스팅은 하나하나가 조금 짧은 것 같은 느낌을 많이 받는다. 하지만 뭔 상관이여!! 조금씩 조금씩 해나가면 되는거지!!