[Linear Algebra] Basic Operation on Linear Algebra and fundamental of vector

이번 포스팅에서는 Vector를 살짝 소개하려고 한다. 더불어서 Linear Algebra에서 가장 많이 쓰이는 연산 두 가지에 대해서도 알아보자.

 

Vector는 무엇인가? 우선 선이 무엇인지는 모두가 알고 있을 것이다. 그 선에 방향성을 추가시킨 것이라고 생각하면 된다.

보시다 시피, 같은 Vector인지 다른 Vector인지 판단하는 기준은 길이와 방향이다.

 

Linear Algebra에서 가장 많이 쓰이는 계산은 Vector에 대한 addtion(+)과 multiplication(x)이다. addition은 말 그대로 덧셈을 의미하고 multiplication은 scalar multiplication을 의미한다. 하나하나 예를 들어 설명해보자.

 

우선, addition이다.

a = (1, 2), b = (3, 4)
a + b = (4, 6)

 

그 다음은 Scalar Multipication이다. Vector에 Vector를 곱하는 것이 아니라, Scalar를!! 즉, 숫자를 곱하는 것이다. 그렇다면 어떻게 될까? 아래와 같다.

이 두 연산이 Linear Algebra의 핵심적인 연산이라고 한다. 이 두 연산을 조합하여 dot product 연산을 만들 수 있다. 이와 같이 addition과 scalar multiplication을 조합해둔 것을 우리는 Linear Combination이라는 용어를 사용해서 이야기하련다. 즉, dot product 역시 Linear Combination이다.

a = (a1, a2), b = (b1, b2)
a·b = a1*b1 + a2*b2

 

dot product 연산은 두 Vector 사이에서 중요한 역할을 하는데, 가장 중요한 역할로는 두 Vector 사이의 각을 구할 수 있다는 점이다. 우리가 고등학교 때 배웠던 식을 기억해보면 a·b = |a|*|b|*cos 이었다. 즉, a의 길이와 b의 길이 그리고 두 개의 dot product을 알면, 그 사이의 각에 대한 cos값을 구할 수 있다.

 

a·b/(|a|*|b|) = cosine, -1 <= cosine <= 1

 

이것을 기억했을 때, 우리는 두 vector의 방향성을 확인할 수 있다. 두 vector가 직각을 이루고 있을 때는 cosine값이 0이므로 a·b의 값은 0이다. 두 vector가 이루는 사이각이 0 - 90 사이일 경우에는 cosine이 양수이고, 90 - 180일 경우에는 음수이므로 a·b값이 양수인지 음수인지에 따라 두 vector가 이루는 각이 90보다 큰지 작은지 역시 알 수 있다.

 

마지막으로 zero vector에 대해서 살짝 언급하고 이번 포스팅 마치려고 한다. 모든 Vector에 0을 곱하면 zero vector가 되고, 그 vector 만큼에 대하여 빼기 연산을 해도 zero vector가 된다. 또한 zero vector는 모든 vector를 포함하는 vector이다. 너무 당연한 얘기를 왜 이렇게 하고 있을까? 그냥 한번 zero vector를 언급하고 싶었다. -_-

 

a = (a1, a2, .., an)
0*a = (0, 0, .., 0)
a - a = (0, 0, .., 0)

너무 허접한 포스팅에 놀래시지 마시길 바라며... 몰라 나는 계속 공부하련다.