[Linear Algebra] Elimination with matrices

오늘 포스팅은 Elimination with matrices!! 즉, 소거법이다. Linear Algebra 가장 처음 포스팅에 잠깐 소개한 적이 있었다. 우리는 이 방법에 대해서 조금 더 다양하게 이것 저것 공부해보려고 한다.

우선, 하나의 식을 보자.

Ax = b

우리가 앞으로 수 없이 보게 될 식이다. 가령 아래와 같이 예를 들 수 있다. 이것을 우리가 Elimination을 이용하여 풀어보자.

여기서 Elimination Matrix라는 개념을 생각해보자. 위의 행렬에서 (a)에서 (b)로 갈 떄, Elimination 행렬을 곱해주는 방식이다. (a)식 양변에 Elimination 행렬을 곱해준다는 개념이다.

(a)식의 양변에 곱해준 행렬은 2x2의 Identity 행렬에서 2행1열을 -2로 바꾼 행렬이다. 앞으로 우리는 이와 같이 nxn의 Identity 행렬의 i행 j열을 변경한 Elimination 행렬을 Eij로 표기하겠다. 2행 1열에 -2를 넣으므로서 (a)행렬에 어떤 영향을 주었는지 잘 살펴보자. 2행 1열이 0으로 제거되었다. 이와 같이 i행 j열에 특정 숫자를 넣어주므로서 A의 i행 j열을 삭제해주는 것을 Elimination 행렬(Eij)라고 한다. 따라서 위의 식은 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.

이번에 Linear Algebra를 MIT강의를 들으면서 공부하고 있다. 아시는 분들은 아시겠지만, MIT의 일부 강의는 무료로 공개되어있어서 인터넷을 통해 들을 수 있다. 들으면서 느낀 것은, 무언가... 성질을 중요시 여긴다는 것? E21을 양변에 곱했을 때 나타나는 현상, 즉 행렬의 2행1열이 사라지는 현상을 공부하드라. 나는 그저 행렬 곱샘만 할 줄 아는데... 아무튼 E21은 그런 의미이다.

그 다음 이야기 할 내용은 A = LU이다. L?? U?? L은 Lower Triangular Matrix,  U는 Upper Triangular Matrix이다. 결국 A - LU는 A라는 행렬이 Lower Triangular Matrix와 Upper Triangular Matrix의 곱으로 표현될 수 있다는 것이다. 항상? 모든 A에 대해서 LU가 가능한가? 그건 아니다. 일련의 조건이 있나보다. 그런데 거기까지는 공부하지 않았다.

사실, A = LU를 공부하는 것은 궁극적으로 Ax = b를 풀기 위함이다. 자 A = LU를 Elimination 기법을 통해 풀어보자. 아래의 식을 예로 보자.

자, A라는 행렬이 최종적으로 L과 U의 곱으로 표현이 되었다. 결과값 L과 U를 이용해서 Ax = b를 어떻게 풀까?

위에서 A = LU를 설명했던 실제 예제를 통해서 이해해보자.

지금까지 블로그를 운영해오면서 계속 컴퓨터 관련된 이야기만 하다가 갑자기 수학을 하려니까 코드가 보고 싶어지지? A = LU와 Ax = b를 계산해주는 프로그램을 MatLab으로 작성해봤다. 

# A = LU

# Ax = b

간단한 코드이지만 i, j, k 숫자가 조금 헛깔려서 좀 오래걸렸다. 아무튼 Ax = b를 Elimination 기법을 통해서 풀어내는 방법을 이번 포스팅에서 설명했다. 다음 포스팅에서는 Vector Space, Subspace, Null Space에 관하여 이야기 해보도록 하겠다.