[Linear Algebra] Introduction to Linear Algebra

왜 Linear Algebra를 공부하는가? 수학과 출신도 아니고 그렇다고 수학에 조예가 깊은 사람도 절대 아닌데도 불구하고 이 이야기를 한번이라도 간단하게 하고 시작하고 싶다. 다시 한번 말하지만 "왜~를 공부하는가"와 같은 교수님정도는 되어야 답할만 한 대답을 아무 것도 모르는 내가 한번이라도 언급하고 가고 싶은 것은 그만큼 중요하다고 생각되기 때문이다.

우리 머리 속에는 1차원 점은 간단하게 그려진다. 2차원인 선 역시 아주 쉽게 그려진다. 3차원도 그럭 저럭 그려진다. 4차원 이상이 되어버리면, "우리는 z축 다음에 뭘 어떻게 그리지? 아인슈타인처럼 똑똑하지 않은 우리는 4차원 이상은 어떻게 공부하라고!!" 이것의 해답, Solution이 Linear Algebra 아닌가 싶다.

우리는 보통 아래의 수학식을 xy 좌표에서 이렇게 푼다.

# 2D Equations

x + 2y = 5

2x = y = 4

# Graph for the Equations

두 2d equation의 답은 x축 2와 y축 1이다. 초등학교만 나오면 풀 수 있는 문제이다. 그런데 이것이 차수가 높아지면 그래프로 풀기는 조금 어려워진다. 3d equation만 되어도 조금 머리속에서 좌표 그리는 것이 헛깔리기 시작해지고, 4차원은 엄두도 못 낸다.

Linear Algebra에서는 이러한 것을 차수가 아무리 높아져도 간단하게 풀 수 있는 방법을 제공해준다. 

가장 기본적을 Elimination을 사용한 기법을 보자. 위의 두 식을 행렬화 하면 아래와 같은 식이 된다.

-3y = -6 이므로, y = 2이다. y값을 x + 2y = 5식에 넣으면 x = 1이 나온다. (이와 같이 y값부터 차례대로 하나씩 하나씩 뒤에서부터 구해나가는 방법을 Back substitution이라고 한다.) 이와 같은 방법이 Elimination 기법이다. 한국으로는 소거법이라고 하든가? 그렇다.

Elimination 기법으로 다차원 Equation을 푼다고 생각했을 떄 차수가 높아져도 푸는 방법은 같다. 다만, 조금 시간이 더 걸릴 뿐이다.

"다차원의 개념을 생각하기 편하게 해준다"를 말하기 위해 너무 장황하게 이야기 한 것 같다. 다음 포스팅에서는 Linear Algebra에서 가장 기본적인 연산과 Vector의 성질에 대해서 이야기해보려고 한다.